A partir do desenvolvimento de novas ferramentas em matemática, os estudos de séries infinitas se constituíram em um patamar significativo no cenário da matemática pura e aplicada. O primeiro registro relacionado a série infinita na matemática foi associado a série geométrica de Arquimedes de Siracusa, 287-212 a.c. Após mais de 16 séculos sem mensuração, em meados do século XIV, os estudos das séries infinitas voltaram a ter destaque, inicialmente, em ensaios sobre Cinemática Merton College da Universidade de Oxford e posteriormente, no século XVI na conjuntura do Cálculo infinitesimal. O presente trabalho, aborda uma contextualização histórica da vida e obra de Leonhard Euler, apresentando um estudo sobre a prova de Euler para a resolução do Problema da Basileia. Este problema, que permaneceu muito tempo sem solução consistia em formular o resultado da soma dos inversos dos quadrados perfeitos. De modo geral, a pesquisa tem como objetivo analisar a engenhosa e elucidativa prova de Euler até a validação da prova pelo o Teorema da Fatoração de Weierstrass. Aborda também, outras resoluções elementares e algumas provas rigorosas para a solução do problema. Discute ainda, sugestões de atividades relacionadas a Progressão Aritmética e Geométrica no ensino médio. Para alcançar os objetivos desse estudo, foram realizadas pesquisas bibliográficas em livros, artigos e dissertações, nacionais e internacionais, no sentido de propiciar ao leitor uma compreensão ampliada da prova de Euler para o problema da Basileia, bem como outras resoluções ao longo da história. Nessa proposição, foi analisada as provas do problema, baseadas nas ferramentas de Cálculo e Teoria dos Números no intuito de correlacionar a teorização formal em diferentes contextos, contribuindo, assim, de forma significativa na consolidação e fortalecimento dos conceitos de séries e progressões no Ensino Médio.